Sobre el infinito

¿Qué es para usted algo infinito?

Posiblemente la respuesta no sería muy distinta de ésta:

Viandante: Pues algo que no tiene fin.

A.V.: Uhmmm…un círculo no tiene ni principio ni fin (en el sentido de que no tiene ni principio ni final), pero no parece que cuadre con la palabra infinito.

V.: Pues también es verdad. No sé, entonces…no sabría decir…

No parece por tanto que la respuesta de nuestro viandante sea suficientemente satisfactoria.

A.V.: Vayamos a tomar un café y le pongo un poco al día.

Albert se lleva a nuestro viandante a una cafetería cercana. Nada más sentarse le entrega unos folios. Mientras Vidhid va hacia la barra nuestro paseante comienza su lectura.
Pero entonces…¿qué es algo infinito?

Bien, antes de comenzar quiero aclarar (aunque no creo que haga falta) que todo lo que vamos a hablar aquí tiene que ver con el infinito matemático, es decir, con el sentido matemático del infinito. Hecha esta aclaración comenzamos con el tema.

La palabra infinito es un adjetivo. Por tanto lo primero que necesitamos es saber qué objetos pueden calificarse con este adjetivo. Esos objetos son los conjuntos, las colecciones de elementos.

En matemáticas podemos dividir los conjuntos en dos grandes grupos: los finitos y los infinitos. ¿Cómo saber de qué tipo es cada uno? Aquí entra en juego el concepto de correspondencia uno a uno o correspondencia biunívoca. Al meter la mano en un guante cada dedo entra en uno de los huecos del mismo. Ningún dedo queda fuera ni ningún hueco queda vacío. Eso es la correspondencia uno a uno: cada dedo corresponde a un y sólo un hueco y viceversa. Otro ejemplo: si miramos por la ventana de una clase y vemos que cada una de las sillas de la misma están ocupadas por un único estudiante, que no hay sillas vacías y que ninguna persona está de pie o sentada en el suelo tenemos que cada estudiante se corresponde con la silla que está ocupando. Esto es, el conjunto de sillas de la clase y el conjunto de estudiantes que hay en ella están en correspondencia biunívoca.

En este punto vamos a hacer entrar en escena a nuestro amado \mathbb{N}=\{0,1,2,3, \ldots \}, conjunto de los números naturales. Dejando por ahora al cero aparte (no lo vamos a marginar, como hace mucha gente, simplemente le vamos a dar un tratamiento distinto), vamos a llamar sección de \mathbb{N} de tamaño n, S(n), al siguiente conjunto:
S(n)=\{1,2, \ldots ,n \}

Con esta definición decimos que un conjunto es finito si puede ponerse en correspondencia uno a uno con algún S(n), para algún n\in\mathbb{N}. Es decir, si podemos encontrar alguna sección de \mathbb{N} tal que cada elemento de nuestro conjunto corresponda con un elemento de dicha sección sin que sobre ni elementos de nuestro conjunto ni elementos de la sección. Si para un cierto conjunto no podemos encontrar ninguna sección de \mathbb{N} con la que podamos hacer eso diremos que nuestro conjunto es infinito.

¿Y el pobre cero? Pues también corresponde a algo. Concretamente al conjunto que no tiene ningún elemento, al llamado conjunto vacío (¡qué haríamos los matemáticos sin él!). Repito: el conjunto vacío es el conjunto que no tiene ningún elemento. Eso no significa que no tengamos conjunto, el conjunto vacío sigue siendo un conjunto aunque no tenga elementos.

V.: Ya he terminado. La verdad es que ahora tengo algo más claro el tema de los conjuntos finitos e infinitos.

A.V.: ¿Está seguro? La segunda parte del documento que acaba de leer es un conjunto de situaciones hipotéticas que están relacionadas con el infinito. Estoy dispuesto a mostrárselas, pero antes voy a hacerle una prueba sencilla. Voy a plantearle una cuestión relativa a todo este tema. ¿Está preparado?

V.: Adelante.

A.V.: Bien, ahí va: si a un conjunto infinito le quitamos un elemento nos queda un conjunto ¿finito o infinito?

V.: Evidentemente infinito.

A.V. Nada de “evidentemente”. ¡Quiero una demostración!

Después de darle un par de vueltas nuestro viandante fue capaz de construir una demostración satisfactoria de ese hecho. ¿Podríais hacerlo vosotros?

A.V.: Muy bien, parece que sí que tiene las ideas algo más claras en lo que a los conjuntos infinitos se refiere. Pasemos entonces a la segunda parte. La situaciones hipotéticas que le he comentado antes son parte de una historia sobre un hotel imaginario, el hotel de hilbert, nombre debido a David Hilbert (vaya forma de distribuir las letras, con lo bien que quedan de la otra forma en la placa de la mesa de mi despacho), su creador. Comience a leerlas mientras pido otro café.

El hotel de Hilbert

Supongamos que tenemos un hotel con 1000 habitaciones individuales. Y supongamos que la ocupación es del 100%, es decir, todas las habitaciones están ocupadas por una persona. Si en esta situación llega una persona más al hotel pidiendo una habitación no podrá ser hospedada en él. Básicamente esto se debe a que no podemos poner en correspondencia biunívoca el conjunto de las habitaciones del hotel (de tamaño 1000) con el conjunto de personas que tendríamos en ese instante (de tamaño 1001).

El hotel de Hilbert es un poco especial, ya que tiene infinitas habitaciones, una por cada natural positivo. Todas las habitaciones son individuales, por lo que no pueden coincidir dos personas en la misma habitación. Para simplificar un poco la explicación de cada una de las situaciones que vamos a presentar podemos suponer que las habitaciones están dispuestas en línea recta, una al lado de otra, de izquierda a derecha. Por tanto tenemos una primera habitación…pero no tenemos última.

Un huésped más

Supongamos, como antes, que todas las habitaciones del hotel de Hilbert están ocupadas y que en ese momento llega una persona más al hotel buscando una habitación. En la situación anterior no se podía dar cobijo a este nuevo huésped, pero ahora sí. ¿Cómo? Muy sencillo. El gerente del hotel pide a todos los huéspedes que se muden a la habitación de su derecha, es decir, el de la 1 pasa a la 2, el de la 2 a la 3, y así sucesivamente. Como no tenemos última habitación todos los ocupantes del hotel siguen teniendo habitación, quedando además la habitación 1 libre. Ya tenemos dónde instalar a nuestro nuevo huésped.

De hecho cualquier conjunto finito de nuevos huéspedes seguiría sin plantearnos problemas. Por ejemplo, podríamos alojar a una excursión de 200 personas pidiendo a cada huésped actual que se mudara a la habitación n+200, siendo n el número de la habitación que ocupa.

Época estival: infinitos nuevos huéspedes

Estamos ahora en época de vacaciones. El hotel de Hilbert está en la ciudad de moda, razón por la que acuden a él un número infinito de nuevos huéspedes, uno por cada natural positivo. ¿Podremos acomodarlos ahora? Pues sí, también se puede. Lo único que tenemos que hacer es mudar a cada huésped a la habitación que se obtiene de multiplicar por 2 la que tiene en este momento, es decir, si un huésped está en la habitación n lo mudamos a la habitación 2n. Así quedan ocupadas todas las habitaciones pares, quedando libres todas las impares. En ellas es donde colocamos a los nuevos clientes, de la siguiente forma: los colocamos en fila, los numeramos y después colocamos al nuevo cliente m en la habitación 2m-1 (el nuevo cliente 1 va a la habitación 1, el nuevo cliente 2 a la habitación 3, y así sucesivamente).

Estamos en crisis: cierre de establecimientos

En una época de auge hotelero la empresa propietaria de nuestro hotel decidió adquirir infinitos hoteles de Hilbert, uno por cada natural positivo. Pero la crisis llega tiempo después y dicha empresa decide cerrar todos los hoteles menos uno. El problema es bastante serio, ya que en el momento del cierre todos sus hoteles de Hilbert tienen ocupación completa, y después de cerrar deben dejar a todos los huéspedes de todos los hoteles alojados. ¿Cómo podemos, en esta ocasión, acomodar a tal cantidad de clientes? En este caso la solución es algo más complicada, pero posible.

Primero nos vamos al hotel que quedará abierto y mudamos a cada inquilino a la habitación cuyo número corresponde con el doble de su habitación actual, como hicimos antes. Quedan entonces ocupadas todas las habitaciones pares y libres todas las impares. Después numeramos los hoteles que vamos a cerrar con los números primos, es decir, el primer hotel que cerramos es el hotel 3, el segundo el hotel 5, el tercero el 7, el cuarto el 11, y así sucesivamente. Y aquí está la clave: colocamos a los inquilinos del hotel p en las habitaciones p^1,p^2, \ldots, p^n, \ldots. Esto es, los inquilinos del hotel 3 quedarán alojados en las habitaciones 3,9,27,81, \ldots; los del hotel 5 en las habitaciones 5,25,125,625, \ldots; así con todos los hoteles cerrados. Como el conjunto de números primos es infinito (Euclides, con números de Fermat, topológica y por Juan Pablo) podemos así dar acomodo a todos los huéspedes de todos los hoteles.

V.: Vaya, pues sí que son interesantes los conjuntos infinitos. Me han encantado las historias. Pero no sé por qué pero me da que la cosa no queda aquí, que el infinito esconde más sorpresas que no aparecen en estas historias.

A.V.: Qué razón tienes amigo, qué razón tienes.

Skeletor escribió:Gracias por el post y la explicación, Batler!

Básicamente, y dicho de forma muy burda, en los conjuntos finitos hay correspondencia 1:1 entre los elementos de dos (o más también, imagino) conjuntos; mientras que en los conjuntos infinitos siempre hay lugar para albergar más elementos de otros conjuntos. Es así?

Abrazo, Batler! Gracias de nuevo por la explicación.